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[为什么发明复数]负数是谁发明的

发布时间 : 2020-08-26 11:34:39 阅读 : 来源 : 生活百科 未收录

[为什么发明复数]负数是谁发明的

最佳答案零是一个界限。我们看温度计,温度就有“零上”与“零下”两种情况。如昨天最高气温是8摄氏度(注意:不要把“8摄氏度”说成“摄氏8度”,因为摄氏度”是一个度量单位,三个字不能分开),最低气温是零下4摄氏度。

通常我们称“零上”为“正”,零下为“负”。“正”的量用正数表示,“负”的量用负数(在正数前面加上一个负号“-”所得的数)表示。

那么,昨天的气温范围就是-4℃~8℃。为了表示两种相反意义的量,就必须用正数与负数。值得我们引以自豪的是:负数在世界上最早出现于我国西汉时期(公元前206年到公元25年)编成的一部数学巨著《九章算术》的“方程章”中。

这一章已讨论了一次方程组的解法。我们知道,解方程组时,在消去一个未知数的过程中往往会出现其他未知数的系数为负数的情形。

因此解方程组必然要引进负数概念。《九章算术》中指出:“两算得失相反,要令正负以名之”。当时是用算筹来进行计算的,所以在筹算中,相应地规定以红等为正,黑筹为负;或将算筹直列作正,斜置作负。

这样,遇到具有相反意义的量,就能用正负数明确地加以区别了。在《九章算术》中,除了引进正负数的概念之处,还完整地叙述了正负数的加减运算法则——“正负术”。

即“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之;其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之”。这段话的前一半说的是减法法则,后一半说的是加法法则。

它的意思是:同号两数相减,等于其绝对值相减,异号两数相减,等于其绝对值相加;零减正得负,零减负得正。

异号两数相加,等于其绝对值相减;同号两数相加,等于其绝对值相加;零加正得正,零加负得负。外国首先提到负数的是印度人巴士卡洛,那已是公元1150年的事了,比《九章算术》成书迟1千多年。

即使到那时,对负数感到迷惑不解的仍大有人在。例如法国大数学家韦达,他在代数方面作出了巨大贡献,但他却努力避免引进负数,在解方程求得负根时统统舍去。

1544年,德国人斯梯弗尔还把负数称为“荒谬”、“无稽”。他们的主要障碍就是把零看作“没有,所以不能理解“比‘没有’还要少”的现象。

直到1637年,法国大数学家笛卡儿发明了解析几何学,创立了坐标系和点的坐标概念,负数才获得了几何意义和实际意义。

确立了它在数学中的地位,逐渐为人们所公认。从上面可以看出,我国数学巨著《九章算术》中的“正负术”与“方程术”不仅是我国数学中的两项伟大成就,在世界数学史上也是一份十分可贵的财富。

不过,《九章算术》并没有完全解决正负数的乘、除运算。“负负得正”这一法则,是公元11世纪我国宋朝的《议古根源》一书中阐明的。

毫无疑问,这在世界数学史上也是捷足先登的。我们在小学里只学习正数与零,这样就不能做“小数减去大数”的减法。

有了负数后,在数集合内,任何减法都是可以进行的。另外,加法、乘法、除法(除数不为零)也都是可以进行的。

为什么发明复数

[为什么发明复数]知道复数的发展史吗

问题:想了解复数的发展史…起源编辑本段16世纪意大利米兰学者卡当(JeromeCardan1501—1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”。

他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成=40,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40。

给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650),他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨(1646—1716)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。

瑞士数学大师欧拉(1707—1783)说;“一切形如,习的数学武子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根。

对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻。

”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔(1717—1783)在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式(a、b都是实数)(说明:现行教科书中没有使用记号=-i,而使用=一1)。

法国数学家棣莫佛(1667—1754)在1730年发现公式了,这就是著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示一1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位。

“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔(1745—1818)在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视。

德国数学家阿甘得(1777—1855)在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示。

在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a+bi。

象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。

他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。

统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应。

高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法。

至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了。经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵。

虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集。随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

从记数法到复数域:数系理论的历史发展作者:纪志刚摘要:数系理论的历史发展表明,数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步,但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。

希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷,而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成。负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识,然而,15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。

“四元数”的发明,打开了通向抽象代数的大门,同时也宣告在保持传统运算定律的意义下,复数是数系扩张的终点。

人类发明的记数法并没有束缚自己的想象力,中国古代“数穷则变”的思想对于当代数学哲学仍具有积极的意义。

引言数,是数学中的基本概念,也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。

一个时代人们对于数的认识与应用,以及数系理论的完善程度,反映了当时数学发展的水平。今天,我们所应用的数系,已经构造的如此完备和缜密,以致于在科学技术和社会生活的一切领域中,它都成为基本的语言和不可或缺的工具。

在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时,是否想到在数系形成和发展的历史过程中,人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢?

一、记数法、位置制和零人类在进化的蒙昧时期,就具有了一种“识数”的才能,心理学家称这种才能为“数觉”(perception

ofnumber)。动物行为学家则认为,这种“数觉”并非为人类所独有。人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法。

《周易·系辞下》记载“上古结绳而治,后世圣人,易之以书契”。东汉郑玄称:“事大,大结其绳;事小,小结其绳。

结之多少,随物众寡”。以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地,如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。

直到1826年,英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。随着人类社会的进步,数的语言也在不断发展和完善。

数系发展的第一个里程碑出现了:位置制记数法。所谓位置制记数法,就是运用少量的符号,通过它们不同个数的排列,以表示不同的数。

引起历史学家、数学史家兴趣的是,在自然环境和社会条件影响下,不同的文明创造了迥然不同的记数方法。如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。

最早发展的一类数系应该是简单分群数系(simplegroupingsystem),如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例,它是10进的,但却不是位置的。

在公元前3000到2000年之间,巴比伦人发展了60进位的定位数系(positionalnumeral

system),它采用了位置制,却不是10进的。而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法。法国著名数学家拉普拉斯(Laplace,1749

–1827)曾经写道:用十个记号来表示一切的数,每个记号不但有绝对的值,而且有位置的值,这种巧妙的方法出自印度。

这是一个深远而又重要的思想,它今天看来如此简单,以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便,才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位;而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时,我们更感到这成就的伟大了。

拉普拉斯的这段评论十分精彩,只可惜他张冠李戴,把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明,10进位位置制记数法最先产生于中国。

这一点也为西方的一些数学史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后,位置制已在中国存在了两千年。

”不过,10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。

研究表明,10进位位置制记数之产生于中国,是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。“0”作为记数法中的空位,在位置制记数的文明中是不可缺少的。

早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法,都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零,后来记成点号“·

”,最后发展为圈号。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初,意大利的商人斐波那契(Leonado

Fibonacci,1175-1250)编著《算经》(LiberAbacci,1202),把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。

印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后,在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。二、大数记法

古代希腊人曾经提出一个问题:他们认为世界上的沙子是无穷的,即使不是无穷,也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。

阿基米德(Archimedes,BC287-212)的回答是:不。在《数沙术》中,阿基米德以万(myriad)为基础,建立新的记数法,使得任何大的数都能表示出来。

他的做法是:从1起到1亿(原文是万万,myriadmyriads,这里按照中文的习惯改称为亿)叫做第1级数;以亿(108)为第2

级数的单位,从亿到亿亿(108)2叫做第2级数;在以亿亿为单位,直到亿亿亿(108)3叫做第3级数。

直到第1亿级数的最后一数亿亿。阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是1051,即使扩充到“恒星宇宙”,即以太阳到恒星的距离为半径的天球,也不过只能容纳1063个沙粒!

同样的问题也出现在中国古代。汉代以前,数皆10进,以10万位亿。韦昭解《国语·郑语》第十六:“计亿事,材兆物,收经入,行垓极”。

注称“计,算也;材,裁也。贾唐说皆以万万为亿,郑后司农云:十万曰亿,十亿曰兆,从古数也。”《数术记遗》中则详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法。

《数术记遗》称:黄帝为法,数有十等,及其用也,乃有三焉。十等者亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载;三等者,谓上、中、下也。

其下数者。十十变之,若言十万曰亿,十亿曰兆,十兆曰京也。中数者,万万变之,若言万万曰亿、万万亿曰兆,万万兆曰京。

上数者,数穷则变,若言万万曰亿,亿亿曰兆,兆兆曰京也。从亿至载,终于大衍。《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法,更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程。

客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数。起初,对一些较大的数,人们还可以理解它,还能够利用已有的记数单位去表示它。

但是,随着人们认识的发展,这些大数也在迅速的扩张,原有的记数单位难以为用。人们不禁要问:数有穷乎?这是数系发展中的需要回答的重大命题。

《数术记遗》中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话,精彩的阐明了“数穷则变”的深刻道理:徐岳问曰:数有穷乎?

会稽(刘洪)答曰:吾曾游天目山中,见有隐者,世莫知其名,号曰天目先生,余亦以此意问之。先生曰:世人言三不能比两,乃云捐闷与四维。

数不识三,妄谈知十。不辨积微之为量,讵晓百亿于大千?黄帝为法,数有十等。……从亿至载,终于大衍。会稽问曰:先生之言,上数者数穷则变,既云终于大衍,大衍有限,此何得无穷?

先生答曰:数之为用,言重则变,以小兼大,又加循环。循环之理,且有穷乎!天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”,以有限来认识无限,而指引这一途径的重要思想是“言重则变”。

即便是今日,“数穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。三、有理数系位置制记数法的出现,标志着人类掌握的数的语言,已从少量的文字个体,发展到了一个具有完善运算规则的数系。

人类第一个认识的数系,就是常说的“自然数系”。但是,随着人类认识的发展,自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。

首先,自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系[2],因此,作为量的表征,它只能限于去表示一个单位量的整数倍,而无法表示它的部分。

同时,作为运算的手段,在自然数系中只能施行加法和乘法,而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷,由于分数和负数的出现而得以弥补。

有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的,埃及采用的是单分数(unitfraction),阿拉伯的分数更加复杂:单分数、主分数和复合分数。

这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂,所以欧洲分数理论长期停滞不前,直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。

与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释:“分,别也。

从八从刀,刀以分别物也。”但是,《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云:“实如法而一。

不满法者,以法命之。”这句话的今译是:被除数除以除数。如果不能除尽,便定义了一个分数。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓:通分。

刘徽在《九章算术注》中所言:众分错杂,非细不会。乘而散之,所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。

同者,相与通同共一母也。齐者,子与母齐,势不可失本数也。有了齐同术,就可将分数化异类为同类,变相违为相通。

刘徽深得其中奥秘,称:“然则齐同之术要矣。错综度数,动之斯谐,其犹佩?解结,无往而不理焉。乘以散之,约以聚之,齐同以通之,此其算之纲纪乎。

”容易证明,分数系是一个稠密的数系,它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻,负数的出现就是必然的了。

盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例,教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解:似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。

历史的事实表明:负数之所以最早为中算家所引进,这是由中国古代传统数学中,算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。

负数的概念和算法首先出现在《九章算术》“方程”章,因为对“方程”进行两行之间的加减消元时,就必须引入负数和建立正负数的运算法则。

刘徽的注释深刻的阐明了这点:今两算得失相反,要令正负以名之。正算赤,负算黑,否则以斜正为异。方程自有赤黑相取,左右数相推求之术。

而其并减之势不得广通,故使赤黑相消夺之。……故赤黑相杂足以定上下之程,减益虽殊足以通左右之数,差实虽分足以应同异之率。

然则其正无入负之,负无入正之,其率不妄也。负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲,但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数,或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。

如丘凯(NicolasChuquet,1445-1500)和斯蒂费尔(Stifel,1486-1567)

都把负数说成是荒谬的数,是“无稽之零下”。卡丹(Cardan,1501-1576)把负数作为方程的根,但认为它们是不可能的解,仅仅是一些记号;他把负根称作是虚有的。

韦达(Vieta,1540-1630)完全不要负数,巴斯卡(Pascal,1623-1662)则认为从0减去4纯粹是胡说。

负数是人类第一次越过正数域的范围,前此种种的经验,在负数面前全然无用。在数系发展的历史进程中,现实经验有时不仅无用,反而会成为一种阻碍。

我们将会看到,负数并不是惟一的例子。四、实数理论的完善无理数的发现,击碎了Pythagoras学派“万物皆数”的美梦。

同时暴露出有理数系的缺陷:一条直线上的有理数尽管是“稠密”,但是它却漏出了许多“孔隙”,而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。

这样,古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想,就彻底的破灭了。它的破灭,在以后两千多年时间内,对数学的发展,起到了深远的影响。

不可通约的本质是什么?长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释,而被认为是不可理喻的数。

15世纪达芬奇(LeonardodaVinci,1452-1519)把它们称为是“无理的数”(irrational

number),开普勒(J.Kepler,1571-1630)称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数,找到虽然在后来的运算中渐渐被使用,但是它们究竟是不是实实在在的数,却一直是个困扰人的问题。

中国古代数学在处理开方问题时,也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数,《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受,刘徽注释中的“求其微数”,实际上是用10进小数来无限逼近无理数。

这本是一条完成实数系统的正确道路,只是刘徽的思想远远超越了他的时代,而未能引起后人的重视。不过,中国传统数学关注的是数量的计算,对数的本质并没有太大的兴趣。

(李)而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了。既然不能克服它,那就只好回避它。此后的希腊数学家,如欧多克斯(Eudoxus)、欧几里得(Euclid)在他们的几何学里,都严格避免把数与几何量等同起来。

欧多克斯的比例论(见《几何原本》第5卷),使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍,但就在这以后的漫长时期中,形成了几何与算术的显著分离。

17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力,恰恰是人们对微积分基础的关注,使得实数域的连续性问题再次突显出来。

因为,微积分是建立在极限运算基础上的变量数学,而极限运算,需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。

无理数是什么?法国数学家柯西(A.Cauchy,1789-1875)给出了回答:无理数是有理数序列的极限。

然而按照柯西的极限定义,所谓有理数序列的极限,意即预先存在一个确定的数,使它与序列中各数的差值,当序列趋于无穷时,可以任意小。

但是,这个预先存在的“数”,又从何而来呢?在柯西看来,有理序列的极限,似乎是先验地存在的。这表明,柯西尽管是那个时代大分析学家,但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。

变量数学独立建造完备数域的历史任务,终于在19世纪后半叶,由维尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-

1897)、戴德金(R.Dedekind1831-1916)、康托(G.Cantor,1845-1918)等人加以完成了。

1872年,是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年,克莱因(F.Kline,1849-1925)提出了著名的“埃尔朗根纲领”(Erlanger

Programm),维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年,实数的三大派理论:戴德金“分割”理论;康托的“基本序列”理论,以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论,同时在德国出现了。

努力建立实数的目的,是为了给出一个形式化的逻辑定义,它既不依赖几何的含义,又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。

有了这些定义做基础,微积分中关于极限的基本定理的推导,才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来,免去任何与感性认识联系的性质。

几何概念是不能给出充分明白和精确的,这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此,必要的严格性只有通过数的概念,并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。

这里,戴德金的工作受到了崇高的评价,这是因为,由“戴德金分割”定义的实数,是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。

数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了自然数;随着生产和科学的发展,数的概念也得到了发展:为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了满足记数需要和表示具有相反意义的量,人们引进了负数;为了解决开方开不尽的矛盾,人们引进了无理数;在解方程时,为了使负数开平方有意义,人们就引进了虚数,使实数域扩大到复数域.十六世纪中叶,意大利数学家卡尔丹在解一元二次方程

和一元三次方程时,分别得到类似下面的结果:,由于负数在实数系内没有平方根,于是他首先产生了将负数开平方的思想,基于自己的设想,卡尔丹研究了类似于

的新数,并进行了计算.后来又有一位意大利数学家帮加利探究了这类新数的运算法则.但最初,人们对复数的概念和性质的了解不甚清楚,对于卡尔丹将40表示成

的乘积认为只不过是一种纯形式的表示而已,莫名其妙;再者用这类新数的运算法则计算又会得到一些矛盾,因而长期以来,人们把复数看作是不能接受的“虚数”.直到十七世纪和十八世纪,随着微积分的发明与发展,以及这个时期复数有了几何的解释,“虚数”才被揭去缥缈的面纱,渐露端倪.1637年,法国数学家笛卡尔正式开始使用“实数”、“虚数”这两个名词;同一时期,德国数学家莱布尼茨、瑞士数学家欧拉和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系,除了解方程外,还把它用于微积分等方面进行应用研究,得到很多有价值的结果.1777年,欧拉系统地建立了复数理论,创立了复变函数论的一些基本定理,并开始把它们用到水力学和地图制图学上;欧拉首先用符号“i”作为虚数的单位,并定义

1797年,挪威数学家维赛尔在平面内引进数轴,以实轴与虚轴所确定的平面向量表示虚数,不同的向量对应不同的点,他还用几何术语定义了虚数与向量的运算,揭示了虚数及其运算所具有的几何意义.十八世纪末十九世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时,就应用并论述了卡尔丹所设想的新数,并首次引进了“复数”这个名词,把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.这样历经300年的努力,数系从实数系到复数系的扩张才基本完成,复数才被人们广泛承认和使用.复数在数学中起着重要的作用,除了上述的代数基本定理外,还有“实系数的一元n次方程虚根成对出现”定理等,特别是以复数为变量的“复变函数论”,是数学中一个重要分支.十九世纪,复变函数论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力,已经形成了非常系统的理论,并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程,概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支.同时,它在电学、热力学、弹性理论和天体力学等方面都得到了实际应用.起源编辑本段

16世纪意大利米兰学者卡当(JeromeCardan1501—1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”。

他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成=40,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40。

给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650),他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨(1646—1716)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。

瑞士数学大师欧拉(1707—1783)说;“一切形如,习的数学武子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根。

对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻。

”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔(1717—1783)在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式(a、b都是实数)(说明:现行教科书中没有使用记号=-i,而使用=一1)。

法国数学家棣莫佛(1667—1754)在1730年发现公式了,这就是著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示一1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位。

“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔(1745—1818)在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视。

德国数学家阿甘得(1777—1855)在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示。

在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a+bi。

象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。

他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。

统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应。

高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法。

至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了。经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵。

虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集。随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

从记数法到复数域:数系理论的历史发展作者:纪志刚摘要:数系理论的历史发展表明,数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步,但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。

希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷,而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成。负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识,然而,15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。

“四元数”的发明,打开了通向抽象代数的大门,同时也宣告在保持传统运算定律的意义下,复数是数系扩张的终点。

人类发明的记数法并没有束缚自己的想象力,中国古代“数穷则变”的思想对于当代数学哲学仍具有积极的意义。

引言数,是数学中的基本概念,也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。

一个时代人们对于数的认识与应用,以及数系理论的完善程度,反映了当时数学发展的水平。今天,我们所应用的数系,已经构造的如此完备和缜密,以致于在科学技术和社会生活的一切领域中,它都成为基本的语言和不可或缺的工具。

在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时,是否想到在数系形成和发展的历史过程中,人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢?

一、记数法、位置制和零人类在进化的蒙昧时期,就具有了一种“识数”的才能,心理学家称这种才能为“数觉”(perception

ofnumber)。动物行为学家则认为,这种“数觉”并非为人类所独有。人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法。

《周易·系辞下》记载“上古结绳而治,后世圣人,易之以书契”。东汉郑玄称:“事大,大结其绳;事小,小结其绳。

结之多少,随物众寡”。以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地,如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。

直到1826年,英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。随着人类社会的进步,数的语言也在不断发展和完善。

数系发展的第一个里程碑出现了:位置制记数法。所谓位置制记数法,就是运用少量的符号,通过它们不同个数的排列,以表示不同的数。

引起历史学家、数学史家兴趣的是,在自然环境和社会条件影响下,不同的文明创造了迥然不同的记数方法。如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。

最早发展的一类数系应该是简单分群数系(simplegroupingsystem),如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例,它是10进的,但却不是位置的。

在公元前3000到2000年之间,巴比伦人发展了60进位的定位数系(positionalnumeral

system),它采用了位置制,却不是10进的。而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法。法国著名数学家拉普拉斯(Laplace,1749

–1827)曾经写道:用十个记号来表示一切的数,每个记号不但有绝对的值,而且有位置的值,这种巧妙的方法出自印度。

这是一个深远而又重要的思想,它今天看来如此简单,以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便,才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位;而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时,我们更感到这成就的伟大了。

拉普拉斯的这段评论十分精彩,只可惜他张冠李戴,把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明,10进位位置制记数法最先产生于中国。

这一点也为西方的一些数学史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后,位置制已在中国存在了两千年。

”不过,10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。

研究表明,10进位位置制记数之产生于中国,是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。“0”作为记数法中的空位,在位置制记数的文明中是不可缺少的。

早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法,都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零,后来记成点号“·

”,最后发展为圈号。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初,意大利的商人斐波那契(Leonado

Fibonacci,1175-1250)编著《算经》(LiberAbacci,1202),把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。

印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后,在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。二、大数记法古代希腊人曾经提出一个问题:他们认为世界上的沙子是无穷的,即使不是无穷,也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。

阿基米德(Archimedes,BC287-212)的回答是:不。在《数沙术》中,阿基米德以万(myriad)为基础,建立新的记数法,使得任何大的数都能表示出来。

他的做法是:从1起到1亿(原文是万万,myriadmyriads,这里按照中文的习惯改称为亿)叫做第1级数;以亿(108)为第2

级数的单位,从亿到亿亿(108)2叫做第2级数;在以亿亿为单位,直到亿亿亿(108)3叫做第3级数。

直到第1亿级数的最后一数亿亿。阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是1051,即使扩充到“恒星宇宙”,即以太阳到恒星的距离为半径的天球,也不过只能容纳1063个沙粒!

同样的问题也出现在中国古代。汉代以前,数皆10进,以10万位亿。韦昭解《国语·郑语》第十六:“计亿事,材兆物,收经入,行垓极”。

注称“计,算也;材,裁也。贾唐说皆以万万为亿,郑后司农云:十万曰亿,十亿曰兆,从古数也。”《数术记遗》中则详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法。

《数术记遗》称:黄帝为法,数有十等,及其用也,乃有三焉。十等者亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载;三等者,谓上、中、下也。

其下数者。十十变之,若言十万曰亿,十亿曰兆,十兆曰京也。中数者,万万变之,若言万万曰亿、万万亿曰兆,万万兆曰京。

上数者,数穷则变,若言万万曰亿,亿亿曰兆,兆兆曰京也。从亿至载,终于大衍。《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法,更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程。

客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数。起初,对一些较大的数,人们还可以理解它,还能够利用已有的记数单位去表示它。

但是,随着人们认识的发展,这些大数也在迅速的扩张,原有的记数单位难以为用。人们不禁要问:数有穷乎?这是数系发展中的需要回答的重大命题。

《数术记遗》中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话,精彩的阐明了“数穷则变”的深刻道理:徐岳问曰:数有穷乎?

会稽(刘洪)答曰:吾曾游天目山中,见有隐者,世莫知其名,号曰天目先生,余亦以此意问之。先生曰:世人言三不能比两,乃云捐闷与四维。

数不识三,妄谈知十。不辨积微之为量,讵晓百亿于大千?黄帝为法,数有十等。……从亿至载,终于大衍。会稽问曰:先生之言,上数者数穷则变,既云终于大衍,大衍有限,此何得无穷?

先生答曰:数之为用,言重则变,以小兼大,又加循环。循环之理,且有穷乎!天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”,以有限来认识无限,而指引这一途径的重要思想是“言重则变”。

即便是今日,“数穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。三、有理数系位置制记数法的出现,标志着人类掌握的数的语言,已从少量的文字个体,发展到了一个具有完善运算规则的数系。

人类第一个认识的数系,就是常说的“自然数系”。但是,随着人类认识的发展,自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。

首先,自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系[2],因此,作为量的表征,它只能限于去表示一个单位量的整数倍,而无法表示它的部分。

同时,作为运算的手段,在自然数系中只能施行加法和乘法,而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷,由于分数和负数的出现而得以弥补。

有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的,埃及采用的是单分数(unitfraction),阿拉伯的分数更加复杂:单分数、主分数和复合分数。

这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂,所以欧洲分数理论长期停滞不前,直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。

与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释:“分,别也。

从八从刀,刀以分别物也。”但是,《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云:“实如法而一。

不满法者,以法命之。”这句话的今译是:被除数除以除数。如果不能除尽,便定义了一个分数。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓:通分。

刘徽在《九章算术注》中所言:众分错杂,非细不会。乘而散之,所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。

同者,相与通同共一母也。齐者,子与母齐,势不可失本数也。有了齐同术,就可将分数化异类为同类,变相违为相通。

刘徽深得其中奥秘,称:“然则齐同之术要矣。错综度数,动之斯谐,其犹佩?解结,无往而不理焉。乘以散之,约以聚之,齐同以通之,此其算之纲纪乎。

”容易证明,分数系是一个稠密的数系,它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻,负数的出现就是必然的了。

盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例,教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解:似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。

历史的事实表明:负数之所以最早为中算家所引进,这是由中国古代传统数学中,算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。

负数的概念和算法首先出现在《九章算术》“方程”章,因为对“方程”进行两行之间的加减消元时,就必须引入负数和建立正负数的运算法则。

刘徽的注释深刻的阐明了这点:今两算得失相反,要令正负以名之。正算赤,负算黑,否则以斜正为异。方程自有赤黑相取,左右数相推求之术。

而其并减之势不得广通,故使赤黑相消夺之。……故赤黑相杂足以定上下之程,减益虽殊足以通左右之数,差实虽分足以应同异之率。

然则其正无入负之,负无入正之,其率不妄也。负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲,但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数,或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。

如丘凯(NicolasChuquet,1445-1500)和斯蒂费尔(Stifel,1486-1567)

都把负数说成是荒谬的数,是“无稽之零下”。卡丹(Cardan,1501-1576)把负数作为方程的根,但认为它们是不可能的解,仅仅是一些记号;他把负根称作是虚有的。

韦达(Vieta,1540-1630)完全不要负数,巴斯卡(Pascal,1623-1662)则认为从0减去4纯粹是胡说。

负数是人类第一次越过正数域的范围,前此种种的经验,在负数面前全然无用。在数系发展的历史进程中,现实经验有时不仅无用,反而会成为一种阻碍。

我们将会看到,负数并不是惟一的例子。四、实数理论的完善无理数的发现,击碎了Pythagoras学派“万物皆数”的美梦。

同时暴露出有理数系的缺陷:一条直线上的有理数尽管是“稠密”,但是它却漏出了许多“孔隙”,而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。

这样,古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想,就彻底的破灭了。它的破灭,在以后两千多年时间内,对数学的发展,起到了深远的影响。

不可通约的本质是什么?长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释,而被认为是不可理喻的数。

15世纪达芬奇(LeonardodaVinci,1452-1519)把它们称为是“无理的数”(irrational

number),开普勒(J.Kepler,1571-1630)称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数,找到虽然在后来的运算中渐渐被使用,但是它们究竟是不是实实在在的数,却一直是个困扰人的问题。

中国古代数学在处理开方问题时,也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数,《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受,刘徽注释中的“求其微数”,实际上是用10进小数来无限逼近无理数。

这本是一条完成实数系统的正确道路,只是刘徽的思想远远超越了他的时代,而未能引起后人的重视。不过,中国传统数学关注的是数量的计算,对数的本质并没有太大的兴趣。

(李)而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了。既然不能克服它,那就只好回避它。此后的希腊数学家,如欧多克斯(Eudoxus)、欧几里得(Euclid)在他们的几何学里,都严格避免把数与几何量等同起来。

欧多克斯的比例论(见《几何原本》第5卷),使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍,但就在这以后的漫长时期中,形成了几何与算术的显著分离。

17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力,恰恰是人们对微积分基础的关注,使得实数域的连续性问题再次突显出来。

因为,微积分是建立在极限运算基础上的变量数学,而极限运算,需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。

无理数是什么?法国数学家柯西(A.Cauchy,1789-1875)给出了回答:无理数是有理数序列的极限。

然而按照柯西的极限定义,所谓有理数序列的极限,意即预先存在一个确定的数,使它与序列中各数的差值,当序列趋于无穷时,可以任意小。

但是,这个预先存在的“数”,又从何而来呢?在柯西看来,有理序列的极限,似乎是先验地存在的。这表明,柯西尽管是那个时代大分析学家,但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。

变量数学独立建造完备数域的历史任务,终于在19世纪后半叶,由维尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-

1897)、戴德金(R.Dedekind1831-1916)、康托(G.Cantor,1845-1918)等人加以完成了。

1872年,是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年,克莱因(F.Kline,1849-1925)提出了著名的“埃尔朗根纲领”(Erlanger

Programm),维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年,实数的三大派理论:戴德金“分割”理论;康托的“基本序列”理论,以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论,同时在德国出现了。

努力建立实数的目的,是为了给出一个形式化的逻辑定义,它既不依赖几何的含义,又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。

有了这些定义做基础,微积分中关于极限的基本定理的推导,才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来,免去任何与感性认识联系的性质。

几何概念是不能给出充分明白和精确的,这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此,必要的严格性只有通过数的概念,并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。

这里,戴德金的工作受到了崇高的评价,这是因为,由“戴德金分割”定义的实数,是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。

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